🌟 18.2 分式的乘法与除法 同步练习
一、 单选题 (1-12)
1．计算 $\frac{3n}{p^2} \div \frac{mn}{p^2}$ 的结果是（ ）
2．化简：$\frac{x}{x^2-4} \cdot (x+2)$ =（ ）
3．若 $(\quad) \div \frac{a}{a^2-b^2}$ 运算的结果不是分式，则“（ ）”内的式子可能是（ ）
4．化简 $\frac{16-m^2}{m^2+6m+9} \cdot \frac{m+3}{4-m}$ 的结果正确的是（ ）
5．化简 $\frac{m-1}{m} \div \frac{1-m}{m^2}$ 的结果是（ ）
6． 一件工程，甲单独做需要 $a$ 小时完成，乙单独做需要 $b$ 小时完成。若甲、乙二人合作完成此项工作，需要的时间是（ ）
7．牛奶和鸡蛋中含有丰富的蛋白质。已知 $m$ g 牛奶中含 $a$ g 蛋白质，比 $n$ g 鸡蛋中含的蛋白质少 $b$ g，则 $m$ g 鸡蛋中蛋白质的含量是（ ）
8．若 $(\quad) \times \frac{y^2}{x} = \frac{y}{x}$ ，则（ ）中的式子是（ ）
9．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简。过程如下：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
老师
$\frac{x^2-2x}{x-1} \div \frac{x^2}{1-x}$
$\frac{x^2-2x}{x-1} \div \frac{x^2}{1-x}$
➔
甲
$\frac{x^2-2x}{x-1} \cdot \frac{1-x}{x^2}$
$\frac{x^2-2x}{x-1} \cdot \frac{1-x}{x^2}$
➔
乙
$\frac{x^2-2x}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x^2}$
$\frac{x^2-2x}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x^2}$
➔
丙
$\frac{x(x-2)}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x^2}$
$\frac{x(x-2)}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x^2}$
➔
丁
$\frac{x-2}{2}$
$\frac{x-2}{2}$
10． 若 $A=\frac{x}{x^2-9}$， $B=\frac{2x}{x-3}$，则 $A \div B$ 的值可能为（ ）
11．甲杯中盛有 $m$ 毫升红墨水，乙杯中盛有 $m$ 毫升蓝墨水，从甲杯中倒出 $a$ 毫升到乙杯里（$0 < a < m$），搅匀后，又从乙杯倒出 $a$ 毫升到甲杯里，则这时（ ）
12．一支部队排成 $a$ 米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用 $t_1$ 分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了 $t_2$ 分钟。如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（ ）
二、 填空题 (13-17)
13．计算：$-4a^3 \div 2a =$ ．
14．$(\frac{a^2b}{-cd})^3$ 的结果是 ．
15．甲地到乙地的铁路的全长为 $s$ (km)，火车全程的运行时间为 $a$ (h)；甲地到乙地的公路的全长为铁路全长的 $m$ 倍，汽车全程的运行时间为 $b$ (h)，那么火车的速度是汽车速度的 倍。
16．已知分式 $\frac{x}{3y^2}$ 与一个整式的积为 $-x^2y$，则这个整式为 ．
17．已知 $x, y, z$ 是大于 $1$ 的正整数，且 $x+\frac{1}{y} \quad y+\frac{1}{z} \quad z+\frac{1}{x}$ （应为 $(x+\frac{1}{y})(y+\frac{1}{z})(z+\frac{1}{x})$）为整数，则 $x+y+z=$ ．
三、 解答题 (18-22)
18．已知代数式 $M = (a-16)x^3 + 20x^2 + 10x + 5$ 是关于 $x$ 的二次多项式，且二次项的系数为 $b$。如图，在数轴上有点 $A, B, C$ 三个点，且点 $A, B, C$ 三点所表示的数分别为 $a, b, c$。已知 $AC = 6AB$。
(2) 若动点 $P, Q$ 分别从 $C, O$ 两点同时出发，向右运动，且点 $Q$ 不超过点 $A$。在运动过程中，点 $E$ 为线段 $AP$ 的中点，点 $F$ 为线段 $BQ$ 的中点，若动点 $P$ 的速度为每秒 $2$ 个单位长度，动点 $Q$ 的速度为每秒 $3$ 个单位长度，求 $\frac{BP-AQ}{EF}$ 的值。
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C O A B
(1) 求 $a, b, c$ 的值；C O A B
(2) 若动点 $P, Q$ 分别从 $C, O$ 两点同时出发，向右运动，且点 $Q$ 不超过点 $A$。在运动过程中，点 $E$ 为线段 $AP$ 的中点，点 $F$ 为线段 $BQ$ 的中点，若动点 $P$ 的速度为每秒 $2$ 个单位长度，动点 $Q$ 的速度为每秒 $3$ 个单位长度，求 $\frac{BP-AQ}{EF}$ 的值。
【参考答案与解析】
(1) 解：
因为 $M$ 是关于 $x$ 的二次多项式，所以三次项系数必须为 0：
$a - 16 = 0 \implies $ $a = 16$。
已知二次项系数为 $b$，则 $b = 20$。
在数轴上，$A$ 点为 $16$，$B$ 点为 $20$，则 $AB = 20 - 16 = 4$。
因为 $AC = 6AB = 6 \times 4 = 24$。且点 $C$ 在点 $A$ 的左侧，
所以 $C$ 点坐标 $c = 16 - 24 = -8$。即 $c = -8$。
(2) 解：
设运动时间为 $t$ 秒。
此时 $P$ 点的坐标为 $-8 + 2t$；$Q$ 点的坐标为 $3t$。
因为 $E$ 是 $AP$ 的中点，所以 $E$ 点坐标为 $\frac{16 + (-8 + 2t)}{2} = 4 + t$。
因为 $F$ 是 $BQ$ 的中点，所以 $F$ 点坐标为 $\frac{20 + 3t}{2} = 10 + 1.5t$。
$BP$ 的长度：$BP = 20 - (-8 + 2t) = 28 - 2t$。
$AQ$ 的长度：$AQ = 16 - 3t$。
$EF$ 的长度：$EF = (10 + 1.5t) - (4 + t) = 6 + 0.5t$。
因此：
$\frac{BP-AQ}{EF} = \frac{(28 - 2t) - (16 - 3t)}{6 + 0.5t} = \frac{12 + t}{6 + 0.5t}$
$= \frac{2(6 + 0.5t)}{6 + 0.5t} = $ $2$。
所以 $\frac{BP-AQ}{EF}$ 的值恒为 2。
(1) 解：
因为 $M$ 是关于 $x$ 的二次多项式，所以三次项系数必须为 0：
$a - 16 = 0 \implies $ $a = 16$。
已知二次项系数为 $b$，则 $b = 20$。
在数轴上，$A$ 点为 $16$，$B$ 点为 $20$，则 $AB = 20 - 16 = 4$。
因为 $AC = 6AB = 6 \times 4 = 24$。且点 $C$ 在点 $A$ 的左侧，
所以 $C$ 点坐标 $c = 16 - 24 = -8$。即 $c = -8$。
(2) 解：
设运动时间为 $t$ 秒。
此时 $P$ 点的坐标为 $-8 + 2t$；$Q$ 点的坐标为 $3t$。
因为 $E$ 是 $AP$ 的中点，所以 $E$ 点坐标为 $\frac{16 + (-8 + 2t)}{2} = 4 + t$。
因为 $F$ 是 $BQ$ 的中点，所以 $F$ 点坐标为 $\frac{20 + 3t}{2} = 10 + 1.5t$。
$BP$ 的长度：$BP = 20 - (-8 + 2t) = 28 - 2t$。
$AQ$ 的长度：$AQ = 16 - 3t$。
$EF$ 的长度：$EF = (10 + 1.5t) - (4 + t) = 6 + 0.5t$。
因此：
$\frac{BP-AQ}{EF} = \frac{(28 - 2t) - (16 - 3t)}{6 + 0.5t} = \frac{12 + t}{6 + 0.5t}$
$= \frac{2(6 + 0.5t)}{6 + 0.5t} = $ $2$。
所以 $\frac{BP-AQ}{EF}$ 的值恒为 2。
19．一艘船顺流航行 $n$ km 用了 $m$ h，如果逆流航速是顺流航速的 $\frac{b}{q}$，那么这艘船逆流航行 $t$ h 走了多少路程？
【参考答案与解析】
解：由题意可得：
这只船顺流航行的速度是 $\frac{n}{m}$ km/h。
$\because$ 逆流航速是顺流航速的 $\frac{b}{q}$，
$\therefore$ 这只船逆流航行的速度是 $\frac{b}{q} \cdot \frac{n}{m} = \frac{bn}{qm}$ km/h。
$\therefore$ 这只船逆流航行 $t$ h 走的路程为：速度 $\times$ 时间 = $\frac{bn}{qm} \cdot t = $ $\frac{bnt}{qm}$ km。
解：由题意可得：
这只船顺流航行的速度是 $\frac{n}{m}$ km/h。
$\because$ 逆流航速是顺流航速的 $\frac{b}{q}$，
$\therefore$ 这只船逆流航行的速度是 $\frac{b}{q} \cdot \frac{n}{m} = \frac{bn}{qm}$ km/h。
$\therefore$ 这只船逆流航行 $t$ h 走的路程为：速度 $\times$ 时间 = $\frac{bn}{qm} \cdot t = $ $\frac{bnt}{qm}$ km。
20．在调配饮料时，需要考虑不同原料的质量配比。如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品是 1 kg，甲、乙两种原料的配比是 $x : y$，那么需要甲原料多少千克？
【参考答案与解析】
解：由题意可得：
饮料成品中甲、乙两种原料的总份数为 $(x+y)$ 份。
甲原料占总份数的比例为 $\frac{x}{x+y}$。
$\therefore$ 甲原料的质量为：总质量 $\times$ 比例 = $1 \times \frac{x}{x+y} =$ $\frac{x}{x+y}$ 千克。
解：由题意可得：
饮料成品中甲、乙两种原料的总份数为 $(x+y)$ 份。
甲原料占总份数的比例为 $\frac{x}{x+y}$。
$\therefore$ 甲原料的质量为：总质量 $\times$ 比例 = $1 \times \frac{x}{x+y} =$ $\frac{x}{x+y}$ 千克。
21．某服装厂新进一种布料，已知 $x$ 米布料恰好可以做 $y$ 件上衣， $2x$ 米布料恰好可以做 $3y$ 条裤子，则一件上衣的用料是一条裤子用料的多少倍？
【参考答案与解析】
解：根据题意：
每件上衣所用的布料为：$\frac{x}{y}$ 米。
每条裤子所用的布料为：$\frac{2x}{3y}$ 米。
一件上衣的用料是一条裤子用料的倍数为：
$\frac{x}{y} \div \frac{2x}{3y} = \frac{x}{y} \cdot \frac{3y}{2x} = \frac{3}{2} = 1.5$。
答：一件上衣的用料是一条裤子用料的 1.5 倍。
解：根据题意：
每件上衣所用的布料为：$\frac{x}{y}$ 米。
每条裤子所用的布料为：$\frac{2x}{3y}$ 米。
一件上衣的用料是一条裤子用料的倍数为：
$\frac{x}{y} \div \frac{2x}{3y} = \frac{x}{y} \cdot \frac{3y}{2x} = \frac{3}{2} = 1.5$。
答：一件上衣的用料是一条裤子用料的 1.5 倍。
22．老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示：
(2) 等式左边代数式的值能等于 $0$ 吗？请说明理由。
🖐️ 遮挡部分
$ \times \frac{x^2-1}{x^3-2x^2+x} \div \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x-1} $
(1) 求被手遮住部分的代数式；(2) 等式左边代数式的值能等于 $0$ 吗？请说明理由。
【参考答案与解析】
(1) 解：
设被手遮住的部分的代数式为 $A$。根据题意得：
$A \times \frac{x^2-1}{x^3-2x^2+x} \div \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x-1}$
将除法化为乘法：
$A \times \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)^2} \times \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x-1}$
$A \times \frac{x+1}{x(x-1)} \times \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x-1}$
$A \times \frac{(x+1)^2}{x^2(x-1)} = \frac{x+1}{x-1}$
解出 $A$：
$A = \frac{x+1}{x-1} \div \frac{(x+1)^2}{x^2(x-1)}$
$A = \frac{x+1}{x-1} \times \frac{x^2(x-1)}{(x+1)^2}$
约分后得到：
$A = \frac{x^2}{x+1}$。
(2) 解：
不能，理由如下：
若原代数式（即计算结果 $\frac{x+1}{x-1}$）的值等于 $0$，则必须满足分子为零，即 $x+1=0$，解得 $x = -1$。
但是，当 $x = -1$ 时，原代数式运算过程中的除式 $\frac{x}{x+1}$ 的分母为 $0$，除式无意义。
同时，乘式 $\frac{x^2-1}{x^3-2x^2+x}$ 也会产生分母为零或失去意义的问题。
因此，$x$ 不能取 $-1$，等式左边代数式的值不能等于 $0$。
(1) 解：
设被手遮住的部分的代数式为 $A$。根据题意得：
$A \times \frac{x^2-1}{x^3-2x^2+x} \div \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x-1}$
将除法化为乘法：
$A \times \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)^2} \times \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x-1}$
$A \times \frac{x+1}{x(x-1)} \times \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x-1}$
$A \times \frac{(x+1)^2}{x^2(x-1)} = \frac{x+1}{x-1}$
解出 $A$：
$A = \frac{x+1}{x-1} \div \frac{(x+1)^2}{x^2(x-1)}$
$A = \frac{x+1}{x-1} \times \frac{x^2(x-1)}{(x+1)^2}$
约分后得到：
$A = \frac{x^2}{x+1}$。
(2) 解：
不能，理由如下：
若原代数式（即计算结果 $\frac{x+1}{x-1}$）的值等于 $0$，则必须满足分子为零，即 $x+1=0$，解得 $x = -1$。
但是，当 $x = -1$ 时，原代数式运算过程中的除式 $\frac{x}{x+1}$ 的分母为 $0$，除式无意义。
同时，乘式 $\frac{x^2-1}{x^3-2x^2+x}$ 也会产生分母为零或失去意义的问题。
因此，$x$ 不能取 $-1$，等式左边代数式的值不能等于 $0$。